Das Problem war folgendes, unter Linux hat der Thunderbird irgendwie kein TrayIcon und das Infofenster bei neu angekommenen Mails funktioniert nur rudimentär (jedenfalls bei mir).
Ein passendes Addon habe ich schnell gefunden, trägt den Namen moztraybiff und lässt wahlweise eine Thunderbird TrayIcon erscheinen, wenn neue Mails vorhanden sind.
Weitere Schritte findet man unter:
http://moztraybiff.mozdev.org/
Die Installation ist wie bei allen Addons denkbar einfach und die Einstellungen können über den Addon Manager getätigt werden.
Vielleicht hilft dieses Addon noch weiteren Benutzern von Thunderbird.
Viele Grüße
hen